Matematica Generale/UNILATINA.it | Appunti e Riassunti Gratis Esami Università - Sito Non Ufficiale della Facoltà di Economia La Sapienza Latina

Un Insieme � un gruppo di elementi, e viene indicato da una lettera Maiuscola.
L�Insieme pi� grande di tutti si dice �UNIVERSO� e contiene tutti i possibili insiemi esistenti ad eccezione dell�Insieme Vuoto, ed � rappresentato dal simbolo OMEGA W.

I -> Insieme Semplice ; W -> Insieme Universo

Un Insieme che non contiene alcun elemento si dice �VUOTO� ed � rappresentato dallo zero sbarrato Ǿ.
Per rappresentare gli elementi di un Insieme risulta utile ed elementare il Diagramma di Venn:

Rappresentazione Matematica di un Insieme I:

I = { a,b,c,d } Rappresentazione Insiemi Finiti

I = { 1,2,3,4,��.. } Rappresentazione Insiemi InFiniti

Tutti gli elementi di un insieme hanno una �caratteristica/propriet�� in comune, che corrisponde al �motivo� per cui appartengono tutti all�insieme.

Un altro metodo di rappresentazione di un insieme infinito consiste nel definire una Regola di Costruzione ad esempio: �Ogni elemento � ricavato aggiungendo 1 al precedente� e nel caso dei numeri Naturali diventa molto facile capire com�� fatto.

Def. Un Insieme � costituito da tutti quegli oggetti che rispettano una o pi� propriet� comune.

I = { x e W:propriet� vera in comune}

Tutti gli x appartenenti ad Omega Tale Che (�:� o �|�) la propriet� � vera�

1.1 SOTTOINSIEMI

Un Sottoinsieme Proprio si ha quando tutti gli elementi di un insieme A appartengono all�insieme B ma mentre si esclude il contrario.

SI dice A strettamente incluso in B e si rappresenta con� A �B

Un Sottoinsieme Improprio si ha quando tutti gli elementi di A appartengono a B e non � escluso che tutti gli elementi di B appartengano ad A.

�

SI dice A incluso-uguale B. e si rappresenta con A �B

Un Sottoinsieme Vuoto � un sottoinsieme improprio di un sottoinsieme generico.

Le operazioni con cui vengono svolte gli insiemi sono:

�� Algebra di Tipo Binario - e e �(Non Appartiene)

(Teoria degli Insiemi)

Algebra Chiusa.

(Le Operazioni fra Insiemi danno

come risultato sempre un altro insieme)

L�Algebra Booleana (Si o No) � sia chiusa che Binaria ed � l�algebra degli insiemi.

1.2 OPERAZIONI FRA INSIEMI

- Unione (A U B)

Dati 2 Insiemi A e B si chiama Unione quell�operazione che ha come risultato un insieme, al quale appartengono tutti gli elementi di A, di B e tutti gli elementi appartenenti contemporaneamente sia ad A che a B ovvero quelli in comune.

A = {a,b,c} e B = {1,2} -> A U B = {a,b,c,d,1,2}

- Intersezione (A �B)

E� un�operazione che ha come risultato un nuovo insieme costituito Esclusivamente dagli elementi appartenenti sia ad A che a B, ovvero gli elementi in comune.��

�� Qui l�insieme � vuoto

��

L�Intersezione fra due insiemi A e B, dove AB (A incluso B), corrisponde all�insieme A.

Sia Unione che Intersezione non Godono della Propriet� Commutativa, ovvero quando il risultato non cambia, cambiando l�Ordine degli Elementi.

- Differenza (A - B) Non gode della Propriet� Commutativa

La differenza fra Insiemi A-B � un�operazione che ha come risultato un nuovo insieme costituito dagli elementi che appartengono Esclusivamente ad A e non anche a B.

o anche

�A �B se AB -> A �B = A

��

Se invece avessimo A-B con B incluso in A sarebbe:

Essendo B sottoinsieme di A,

la Differenza A-B = CAB

E� detta Complemento dell�Insieme B.

Dove la C sta proprio per

Complemento.

Se A e X sono due insiemi ed A � sottoinsieme di X , ( ), la differenza X-A si chiama complementare di A rispetto ad X e di denota con :.
�

- Prodotto Cartesiano (A x B)

Non � valida per questa operazione la propriet� commutativa.

AxB � un�operazione che da come risultato un insieme, costituito da tutte le coppie Ordinate del tipo (a,b) che si ottengono prendendo il generico elemento a di A e il generico elemento b di B.

AxB

(a,b) derivante da aeA -> A = {a,b,c,d}

�� beB -> B = {1,2,3}

AxB = {a1, a2, a3, b1, b2, b3, c1, c2,��..d2, d3}

Mentre non vale il contrario cio� in ordine inverso cio� AxB = {1a,1b,�..3d}

AxB = { aeA, beB : (a,b)}

Ovvero tutti gli a appartenenti ad A e tutti i b appartenenti a B, tale che � vera la propriet� (a,b).Nel caso invece che i due insiemi coincidano si da vita a Insiemi con esponente ovvero: A x A = A²oppure ancora Aⁿ= A x A x A x A��..x A.

1.3 LOGICA DEGLI EVENTI

Un Evento � una proposizione deducibile, cio� pu� essere vera o falsa.

La Preposizione corrisponde ad una frase di senso compiuto, cio� della quale si pu� dire senza ambiguit� se � vera o falsa.

Def.

Un Evento � una frase di senso compiuto della quale si pu� decidere senza ambiguit� se � vera o false, proprio attraverso la Logia.

L�Evento SEMPRE VERO si dice CERTO, cio� non ammette incertezze nell�ambito della sua determinazione.

Un elemento che Si Verifica si dice Vero.

Un elemento che Non si Verifica si dice Falso.

Un elemento che Non si verifica Mai, invece, come lo � si dice Impossibile.

�� Evento Certo �� Evento Possibile

Anche nella Logica di Eventi l�insieme si indica con la lettera maiuscola, ma nel Blasi questo esempio viene riportato cos� e non si sa perch� comunque in linea di massima vale la maiuscola ma in questo caso saremo allineati al libro per continuit�.

Un Evento Vero appartiene (e) all�insieme.

Dati due eventi (o proposizioni) p e q, si dicono Equivalenti se sono o entrambi veri o entrambi falsi; cio� se � vero l�uno lo � anche l�altro.

L�Uguaglianza non riguarda il contenuto/valore della proposizione (ad esempio di due frasi) ma il Valore Logico.

Diciamo Coincidenti i Valori Logici ma non il contenuto della proposizione.

Con riferimento agli insiemi, possiamo rappresentarli dicendo che l�Evento deve essere contenuto in entrambi gli insiemi p e q o in nessuno dei due.

��

p,q �� ->�� p=q

cio� p e q sono coincidenti

Dati due eventi si dicono Incompatibili fra loro, se il verificarsi dell�uno Esclude quello dell�altro.

Cio� se un elemento appartiene ad un insieme e non appartiene all�altro lo esclude.

Due insiemi p e q, si dice che p Implica q, quando se p � vero � vero anche q, ma non � necessariamente vero il viceversa. E si indica con p => q.

Quando il verificarsi di p comporta automaticamente il verificarsi di q, ma non � detto che valga lo stesso il contrario, a tal proposito si parla di Insieme Improprio, cio� che �potrebbe� coincidere con q ma non � provato.

Non � detto neanche che se p non si verifica allora non si verifica anche q, infatti la propriet� riguarda p e solo se la stessa � vera.

p => q�� p � condizione sufficiente per q.

Affinch� p sia vera � Assolutamente Necessario che q sia vera, � necessario perch� se q � falsa allora non potrebbe assolutamente appartenere a p;poich� se q contiene p e se q � falsa non pu� esserlo anche p.

P pu� essere vera (verificata) o falsa sempre che q � vera (cio� esista).

Vista al contrario invece

q � condizione necessaria per p.

��

Se p => q e q => p, allora i due insiemi devono coincidere, cio� p <=> q.

p e q sono equivalenti.

1.4 OPERAZIONI FRA EVENTI

Anche qui interviene l�algebra Booleana, che si caratterizza un po� come per gli insiemi come Chiusa e Binaria.

1.4.1 Somma Logica

Dati due eventi p e q, si chiama Somma Logica l�operazione che da come risultato un nuovo evento che � vero quando almeno uno dei due eventi iniziali (p,q) � vero e falso quando sono falsi entrambi..

Il Concetto � quello dell�UNIONE visto per gli insiemi.

Es. p + q -> p _vq -> p U q

1.4.2 Prodotto Logico

Dati due eventi p e q, si chiama Prodotto Logico l�operazione che da come risultato un nuovo evento(appunto prodotto logico) che � vero solo quando sono entrambi veri i due eventi iniziali (p,q) e falso quando almeno uno dei due � falso.

Il Concetto � quello dell�INTERSEZIONE visto per gli insiemi.

Es. p x q -> p ^q -> p �q.

Es.

Se p e q sono incompatibili, allora il prodotto logico fra i due � impossibile, poich� non hanno parti in comune. p ^q = 0

Es.

Se p => q , e se p � contenuto in q allora p ^q = p, perch� l�intersezione dei due � proprio p.

1.4.3 Negazione

La Negazione lavora solo su un evento.

�si dice �non p� o �p negato� o �negazione di p�.

Si chiama Negazione quell�operazione che da come risultato un evento che � vero se p � falso e falso se p � vero.

Tutti i punti che appartengono a W ma non a p.

P e �sono obbligatoriamente incompatibili.

Es.

Nel caso della Somma Logica p _vq = 0 (Intersezione)

Nel caso del Prodotto Logico p ^q = W (Unione)

Nel caso p => q allora Non � detto che se non significa che� =>poich� un punto esterno a �pu� appartenere a .

Mentre se

p => q� allora =>e cio� se q non si verifica allora non si verifica neanche p.

(p => q) �(=>)

1.5 INSIEMI NUMERICI

1.5.1 Insiemi Naturali

Sono insiemi di numeri naturali, ovvero ciascun numero successivo � dato dal precedente pi� uno.

N = {1,2,3,�.}

1.5.2 Insiemi Realtivi

Sono numeri naturali accompagnati dal segno + o �

L�insieme Z contiene N al suo interno , cio� N � un sottoinsieme proprio di Z proprio perch� � contenuto in Z.

Z = {0, �1, �2, �3, �.}

1.5.3 Insiemi di numeri Razionali

L�Insieme di numeri Razionali contiene tutti i numeri dell�universo al suo interno, che sono il risultato di un�operazione di quoziente fra 2 numeri interi m/n.

Q = {x e W: x = m/n}

m ed n sono numeri interi;

mentre la x (dopo il tale che) potr� essere un numero:

- Intero (1)

- decimale finito (1,57)

- decimale periodico ( 1,333333333333)

Vero � che anche se il risultato � un intero come 1, lo stesso pu� essere rappresentato da 1,0000000000, se ne deduce che la x potr� essere sempre un numero periodico;

Fra la p e la q cadono infiniti numeri che appartengono a numeri razionali.

Non � possibile stabilire quale � la consecutivit� poich� ce ne sono di infiniti; potrei dire che al max il successivo � pi� grande, questa propriet� indica che questo insiemi si dice ovunque Denso.

1.5.4 Insiemi di numeri IRRazionali

Insieme composto da cifre decimali non periodiche ma infinito. (IRR)

1.5.5 Insiemi di numeri Reali

R = (Q U IRR)

La Q sono i numeri razionali; IRR sono gli irrazionali, dunque R contiene tutti i numeri: (N �Z �Q �R).

Dato un numero reale a appartenente all�insieme di numeri reali, esiste un altro numero �a (cio� a per �1), che si dice opposto di a, ed inoltre ne esiste un altro sempre reale 1/a detto reciproco.

a e R ; -a e R ; 1/a e R

Rappresentiamo i numeri reali con punti generici su rette orientate.

Se voglio rappresentare 1/n, allora se m per 1/n = m/n.

Se voglio rappresentare 2,5 devo prendere come unit� di misura lo 0,5 un po� come definire una scala.

Rappresentiamo ora una coppia di numeri reali, nello spazio a 2 dimensioni anzich� in uno spazio ad una sola dimensione come visto fino ad ora.

Utilizzeremo il classico Asse Cartesiano Ortagonale definito come il sistema di due rette orientate perfettamente perpendicolari in un sistema ortogonale.

Nel caso dell�asse cartesiano su tre dimensioni uvremo un�asse ortogonale �a due a due�. Coordinate (a,b,c) che corrispondono rispettivamente a (x,y,z).

1.5.6 Insiemi di numeri Complessi

E� il pi� aampio insieme numerico di tutti, ed � rappresentato da COMPL, costituito inoltre da quei numeri espressi secondo questa forma:

a,b ��

i = Unit� Immaginaria.

i =

Z = a+ ib dove a e b sono numeri reali e Z numero complesso

L�uninone di numeri complessi pu� anche essere un umero reale, se invece a = 0 (cio� la pqarte corrispondente aggiuntiva) allora Z si dice essere Immaginario Puro.

Se invece b=0 allora Z = a.

Dato un numero complesso Z esiste ne esiste sempre uno Associato, ovvero un altro numero complesso �che � uguale a =a- ib, detto anche Complesso Coniugato di Z.

Il prodotto fra Z� e �e cio� Z=sempre ad un numero reale.

Es.

Z= (a+ib) �(a-ib) cio� il prodotto di due binomi

Z= a² � aib + aib � i²b²

Z= a²- i²b²� (visto che la i² = 1)

Z= a²+ 1b² ; Z= a²+b² ; Z= a²+ 1b²

|Z| si dice Modulo di Z e se Z dovesse coincidere con a e per b=0, allora il risultato sarebbe |a|, che serve per indicare il modulo del valore assoluto di un numero reale.

RCOMPL

Ponendo sull�asse delle ascisse l�asse reale e su quellodelle ordinate l�asse immaginario avremo:

La lunghezza del segmento rappresentato da Z � uguale al modulo di |Z|, cio� alla radice .

1.6 VETTORI

1.6.1 Vettori

n-pla => Gruppo di n oggetti ovvero insieme di numeri reali.

Ordinata => Due n-ple che contengono gli stessi numeri reali, si considerano comunque diversi anche per il solo fatto che l�Ordine dei numeri � diverso.

Esempio di vettore a 2 componenti:

la coppia 1,2 � diversa da 2,1 e proprio a causa dell�ordine.

a=[1,2]

b=[2,1]

Il vettore si indica ad esempio con la lettera a ma in grassetto �a�.

a = [a₁,a₂,��a_n]

Si dice Vettore Nullo, se le n componenti del vettore sono tutte nulle e non solo alcune: 0 = [0,0,0,0,��0], non lo sarebbe 0 = [0,1,0,0,�..,0].

Se il Vettore ha un solo componente allora si parla di Scalare. Es. a = [1].

Dati 2 vettori con stesso numero di componenti, si dicono uguali se sono uguali le componenti che coprono la stessa posizione.

a = [a₁,a₂,��a_n]

b = [b₁,b₂,��b_n]

qui a₁eb₁hanno stesso valore e ricoprono la stessa posizione dunque stesso ordine.

Caratteristiche dei Vettori Uguali:

- Stesso Numero di Componenti

- Stesso valore e posizione dei Componenti

1.6.2 Somma di Vettori

Si chiama somma di 2 vettori a + b un nuovo vettore con stessa dimensione, cha ha come 1� componente la somma del 1� componente dei due vettori e cos� con tutti gli altri, fino a n.

a + b = [a₁+b_1,a₂+b_2, a₃+b_3,��, a_n+b_n]

1.6.3 Prodotto di Vettori

Il Prodotto fra due vettori � il prodotto di uno scalare per il vettore ad n componenti, cio� di un a (alpha) moltiplicato per gli n componenti del vettore.

Dato un vettore ad n componenti, si chiama prodotto di uno scalare a per un generico vettore di a, un nuovo vettore con stesso numero di componenti del vettore a, e ciascuna delle componenti � ottenuta moltiplicando lo scalare a per ogni componente di a.

a a = [a₁b_1,a₂b_2, a₃ b_3,��, a_n b_n]

Esempi di Vettori

a = [5,6,8]

b = [2,6,5]��

Sono diversi perch� anche se di stessa dimensione hanno ordine e valori diversi.

a = [-5,6,8]

b = [6,8,-5]��

Diversi per via dell�ordine diverso

a = [1,2,3,4,5]

b = [0,5]��

La Somma � impossibile poich� il numero di componenti � diverso.

a = [1,2]

b = [0,2]

a+b =[1,4]

Qui la somma � possibile.

a = [p, -3, 4/3]

b = [1,0,0]

b �non � nullo dovrebbe avere tutti I vettori = 0

a+b =� [p+1, -3, 4/3]

a = [p, -3, 4/3]

a = [2]

2a = [2p, -6, 8/3]��

2a � proprio il nuovo nome del vettore

a = [p, -3, 4/3]

a = [-1]

-a = [-p, 3, - 4/3]��

-a � proprio il nuovo nome del vettore detto anche Opposto di a

1.6.4 Legame fra Insiemi e Vettori

Normalmente si raggruppano in uno stesso insieme 2 o pi� vettori con stesso numero di componenti.

Si parla di Insieme: Spazio Vettoriale di Dimensione n e si indica con S_n, l�insieme di tutti i vettori aventi n componenti.

Dati a,b e S_n significa dati 2 vettori a,b appartenenti a S_n

Dati 2 vettori appartenenti a S_n ,il loro prodotto dar� come risultato un vettore delle stesse dimensioni .

Esempio:

Lo Spazio Vettoriale S₃ corrisponde all�insieme di tutti i vettori aventi 3 componenti, se la n fosse uguale a 1 allora avremmo uno spazio vettoriale composto da scalari.

1.6.5 Rappresentazione Grafica di vettori

Il vettore si rappresenta (Specificazione Geometrica) con una freccia a fine retta ed elementi per costruire un vettore sono:

- Punto di Applicazione

(punto di partenza della freccia che generalmente coincide con lo 0.)

- Direzione

(direzione della retta a cui appartiene)

- Lunghezza

(distanza fra lo 0 origine e l�Estremo Libero del vettore punto finale della retta)

- Verso

(Da Destra a Sinistra o viceversa)

Esempio1

S₁ Il vettore ha 1 dimensione cio� con un solo componente viene rappresentato su una retta:

a =[ a₁]

b = [b₁]

�� come si vede non ha verso !

Esempio2

S₂ Il vettore ha 2 dimensioni cio� possiamo rappresentarlo sull�asse cartesiano ortogonale:

a =[ a_1,a₂]

Il vettore � proprio la freccia con origine 0.

Esempio3

S₃ Il vettore ha 3 dimensioni cio� possiamo rappresentarlo sull�asse cartesiano ortogonale a 3 dimensioni:

a =[ a_1,a_2,a₃]

1.6.6 Combinazione Lineare

Dati p vettori in uno Spazio S_n e dati p scalari, si chiama Combinazione Lineare di p vettori e coefficienti a₁,a₂,a_p.

a₁a₁+_�a₂a₂+ ��. a_pa_p�

(dove a₁,a₂,a_p � un insieme di vettori)

detta appunto Combinazione Lineare dei Vettori a₁,a₂,a_p con coefficienti a₁,a₂,a_p.

Ogni a_pa_p� un vettore e appartiene anche esso allo Spazio S_n.

La somma dei Prodotti corrisponder� alla somma dei vettori appartenenti a S_n.

Esempio

a₁= [1,2,3]

a₂= [-1,-2,-3]�� Vettori

a₃= [0,1,0]

a₁= [2]

a₂= [-1]�� Scalari

a₃= [4]

Ecco la Combinazione Lineare:

2[1,2,3] + -1[-1,-2,-3] + 4[0,1,0]

��

a₁ a₁= 2[1,2,3]

�� a₂ a₂= -1[-1,-2,-3]

�� a₃ a₃= 4[0,1,0]

[2,4,6] + [1,2,3] + [0,4,0]

�� [3,10,9]

Dati p vettori� a_1,a_2,a_pe S_n e dato un altro vettore� be S_n, se il risultato � uguale b allora si dice che b dipende linearmente dai vettori a_1,a_2,a_p.

a₁ a₁ + a₂ a₂ +��.+ a_p a_p = b

ponendo il caso precedente se l�insieme b fosse stato uguale a [3,10,9] allora b sarebbe stato linearmente dipendente dagli altri vettori.

Questo tipo di calcolo � richiesto quando sono ignoti i coefficienti.

Dato un insieme di m vettori di uno spazio S_n, si dice che questi vettori sono linearmente dipendenti TRA DI LORO se almeno uno di essi � linearmente dipendente dagli altri.

b si dice linearmente dipendente da a_1,a_2,a_p tale che b sia uguale alla combinazione lineare di vettori a_p e coefficienti a_p.

Dati a_1,a_2,a_m e S_n si dice che sono linearmente dipendenti fra loro, se all�interno di questo insieme ne esiste almeno uno linearmente dipendente dagli altri, cio� quando � combinazione lineare degli altri.

Condizione Necessaria e Sufficiente affinch� i vettori a_1,a_2,a_m siano linearmente dipendenti fra loro, � che si verifichi: a₁a₁+_�a₂a₂+ a_ma_m = 0, dove almeno uno scalare a₁+_�a₂+ a_m non sia nullo, nell�altra ipotesi si dicono Linearmente Indipendenti.

Se i coefficienti sono TUTTI nulli il risultato della combinazione sarebbe sempre nullo, e allora si parlerebbe di Linearmente Indipendenti, cio� se � l�unico modo di ottenere il vettore nullo come risultato da coefficienti nulli.

TEOREMA

In uno spazio vettoriale S_n, esistono al Massimo delle n-ple di vettori linearmente Indipendenti tra loro identificabili.

Una volta identificati le n-ple vettori indipendenti, tutti gli altri vettori che verrebbero ad aggiungersi sarebbero necessariamente linearmente dipendenti fra loro, proprio perch� finite le possibilit� di indipendenza rimangono solo le possibilit� di dipendenza.

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Esempio con spazio vettoriale S₄

a_1�=�� [-4/3, 2, 0, 1/3]

a_2�=�� [1, 6, -4, 0]

a_3�=�� [5,0,-4,-1]

Considerando a₁ = -3 e a₂ = 1 sempre per ipotesi

Metodo per Tentativi

a_3�=�� a₁a₁+_�a₂a_{2 �}��

a_3�=�� -3[-4/3,2,0,1/3] + 1[1,6,-4,0]

a_3�=�� [5,0,-4,-1] �� Coincidendo confermiamo la combinazione lineare

Il vettore a₃� esprimibile come combinazione lineare dei precedenti mediante l�impiego di coefficienti a₁e a₂, dunque essendoci una dipendenza lineare dagli altri, allora c�� dipendenza lineare fra tutti i vettori.

Ci� implica che a₁a₁+_�a₂a_{2 �}- a₃a_{3 �}�= 0�

(il _�- a₃a_{3 �}�� da intendersi come -1a₃a_{3 �}�che � il contrario di _�a₃)

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Esempio 2 con spazio vettoriale S₃

a_1�=�� [-5, 4, 1/2]

a_2�=�� [5, -4, -1/2]

a_3�=�� [2/3, 5, 1/2]

Considerando a₁ = -1 e a₃ = 0 sempre per ipotesi

Metodo per Tentativi

a_2�=�� a₁a₁+_�a₃a_{3 �}��

a_2�=�� -1[-5,4,1/2] + 0[2/3,5,1/2]

a_2�=�� [5, -4,-1/2] �� Coincidendo confermiamo la combinazione lineare

Ci� implica che a₁a₁+_�a₂a₂+ a₃a_{3 �}�= 0�

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Esempio 3 con spazio vettoriale S₂

a_1�=�� [2,5]

a_2�=�� [1,-1]

Ipotizzando che siano fra loro linearmente indipendenti, ogni vettore successivamente aggiunto ne implicher� obbligatoriamente la dipendenza.

I Vettori di uno spazio S₁ sono sempre linearmente dipendenti poich� esiste al massimo 1 vettore linearmente indipendente, dunque in un S₁con 2 vettori, l�altro vettore � necessariamente dipendente e dunque fra loro i due vettori sono linearmente dipendenti.

Due Vettori di uno spazio qualunque sono necessariamente linearmente dipendenti fra loro se posizionati sulla stessa retta.

In uno spazio S₂

Dipendenza

Indipendenza

In uno spazio S₂ esistono al massimo 2 vettori indipendenti fra loro, dunque nel caso i vettori siano 3 allora saranno necessariamente dipendenti.

Dati 3 vettori appartenente ad uno spazio vettoriale qualunque, saranno necessariamente linearmente dipendenti fra loro se appartengono tutti allo stesso Piano.

1.7 MATRICI

1.7.1 Matrici

Rango di un insieme di vettori

Dato un insieme di vettori a_1,a_2,a₃ e S_n, si definisce rango di questo insieme il Massimo numero di vettori Linearmente Indipendenti che � possibile estrarre da questo insieme di vettori dato che naturalmente pu� essere al massimo pari ad n, proprio perch� possono essere al max tutti linearmente Indipendenti.

Matrice

Si definisce Matrice nxm semplicemente una tabella composta da nxm numeri reali disposti su n righe e m colonne.

aij = elemento GENERICO della matrice, ovvero numero reale che occupa la riga i e la colonna j.

Le righe vanno da 1 ad n

Le colonne da 1 ad m

i = indice riga

j = indice colonna

Se n = m allora la matrice si dice Matrice Quadrata di Ordine n.

Diagonale Principale

� la diagonale che attraversa gli elementi della matrice quadrata con stessi indici i e j detti indici di riga e colonna.

Diagonale Principale

a1n

Diagonale Secondaria

a(n-1)

1.7.2 Matrici Simmetrica (quadrata)

Gli elementi Simmetrici rispetto alla diagonale principale sono uguali:

aij = aji� (per ogni)i,j

Ovvero � una matrice quadrata i cui elementi simmetrici (al di qua e al di la della diagonale principale) sono uguali

Qui 4 e 5 sono diversi dunque la matrice non � quadrata simmetrica ma solo quadrata.

Cio� aij �aji� (simbolo di �diverso�)

��

Quando invece n ed m sono diversi allora si dice che la matrice � rettangolare, quando per� in un esercizio non viene specificata se � rettangolare o quadrata la propriet� che si esprime � valida per entrambe le tipologie.

Matrice Vettore Riga �Sm

A = [a11 �a12� � a1m]

E� una matrice del tutto simile ad un vettore riga 1xm dove cio� 1 riga ed m colonne.

Matrice Vettore Colonna �Sn

�

E� una matrice del tutto simile ad un vettore colonna nx1 dove cio� n riche ed 1 colonna.

La matrice nxm

si pu� conmsiderare come un insieme di n vettori riga �Sm ed m vettori colonna �Sn.

La matrice viene utilizzata per mettere insieme m vettori di uno spazio Sn ed n vettori di uno spazio Sm.

1.7.3 Matrici Trasposta

Data una generica matrice nxm (quadrata o rettangolare appunto generica) A, si chiama Trasposta e si indica con A^T , una matrice mxn ottenuta dalla matrice originaria A scambiando le righe con le colonne.

Se la matrice A � quadrata e simmetrica di ordine n , allora la sua Trasposta A^T coincide con A cio� A = A^T

Quando si parla di Linee Parallele o Colonne Parallele si indicano o due righe o due colonne della matrice ma parallele.

1.7.4 Determinante

Ad una matrice quadrata di ordine n, � possibile sempre associare un numero reale, detto Determinante.

Pu� essere rappresentato con 3 simbologie: �

1) DA

2) detA

3)� a11�� a12�� a1m

�� a11�� a12�� a1m

�� an1�� an2�� anm

��

�� Calcolo del Determinante

1� Metodo Matrice 1x1

Se n=1 ed m=1 si ha che A=[a11] dunque detA =�� a11��

�a11�� non � il valore ASSOLUTO di a11 ma solo il simbolo del determinante.

Cio� il suo determinante � �e non .

2� Metodo Matrice 2x2

Il Determinante si calcola per differenza tra il prodotto degli elementi della diagonale principale e quella della secondaria

detA = a11 a 22 � a 12 a 21

3� Metodo Matrice 3x3 � Regola di SARRUS - solo per matrici di ordine 3 quadrate

Si copiano a desra le prime 2 colonne e si fa la differenza dei prodotti ottenuti dalla diagonale principale meno quelli della secondaria.

4� Metodo Universale per il calcolo di qualsiasi tipo di matrice

Es. con matrice sempre di ordine 3

DetA = a11 (-1)^{(somma indici n+m)�}

se la somma di n+m da dispari allora cambia il segno del (-1)

Moltiplicato per il determinante della matrice di ordine 2 ottenuto eliminando 1� riga e 1� colonna.

DetA = (-1)⁽¹⁺¹⁾ a11

Poi si aggiunge il 2� elemento della prima riga della matrice iniziale e si eliminano la seconda riga e seconda colonna

+ (-1)⁽¹⁺²⁾ a12

Poi si aggiunge il 3� elemento della prima riga della matrice iniziale e si eliminano la terza riga e terza colonna

+ (-1)⁽¹⁺³⁾ a13

DetA = a11(a22 a33 - a23 a32) +

- a12(a21 a33 - a13 a31) +

+ a13(a21 a32 - a22 a31)

cio� si moltiplicheremo prima i termini accompagnati dal segno + e poi sottrarremo il prodotto dei termini accompagnati dal segno -

DetA = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 +

- a11 a23 a32 - a12 a21 a33 - a13 a22 a31

Per scrivere tutto in forma sintetica, possiamo notare che quello che si muove � l�indice di colonna mentre quello di riga � sempre 1:

a11 a12 a13�� dunque

Aij = Minore Complementare dell�elemento aij.

Determinante della sottomatrice quadrata di ordine 3-1 ottenuta eliminando la riga i e la colonna j, ed � detto

A�ij = (-1)^(1+j) Aij

Complemento Algebrico dell�elemento Aij

Es.

Minore Complementare A13 = -5

Complemento Algebrico A�ij = (-1)⁽¹⁺³⁾ -5 -> A�ij = -5

Es.

Minore Complementare A14 = -7/4

Complemento Algebrico A�ij = (-1)⁽¹⁺⁴⁾ -7/4� -> A�ij = 7/4

Si dice Complemento algebrico dell�elemento Aij e si indica con A�ij il minore complementare di Aij preso con segno opposto se la somma di i+j � dispari e viceversa se � pari.

�

Data una QUALUNQUE matrice quadrata di ordine n, il suo determinante si ottiene facendo la somma dei prodotti degli elementi di ogni riga per i rispettivi complementi algebrici.

Facendo la somma dei prodotti degli elementi delle altre linee della matrice, oltre alla prima, per il proprio complemento algebrico si otterr� il determinante.

a21 A�21 + a22 A�22 + a23 A�23

O ancora se ci muoviamo sulle colonne

a13 A�13 + a23 A�23 + a33 A�33

Dunque il determinante si calcola facendo la somma dei prodotti di QUALUNQUE riga o colonna per il proprio Complemento Algebrico.

Propriet�:

Se una riga contiene tutti elementi nulli allora il determinante � 0 cio� nullo.
Se le linee sono fra loro proporzionali o uguali, cio� una la si ottiene dall�altra moltiplicandola per lo scalare, il determinante � 0.
Se esistono 2 o pi� linee parallele esprimibili come combinazioni lineari di altre allora il determinante � 0.
Il determinante di una Trasposta coincide con quello della matrice Ordinaria.
Il Prodotto degli elementi presenti sulla diagonale principale, � uguale al determinante se gli elementi al di sotto della diagonale stessa sono tutti nulli.

e questo tipo di calcolo � simile per gli altri tre elementi pari a 0

se invece calcoliamo solo il terzo

dunque avremo

0 + 0 +		+ 0
0 + 0 +		+ 0

-4 [(2 6 1) + (-3 1 5) + (5 4 -1) - (5 6 5) - (2 1 -1) - (-3 4 1)]

5� Metodo Universale per il calcolo di qualsiasi tipo di matrice

Data una matrice generica nxm, il Minore di Ordine K per 1<=K<=MIN(n,m), � dato dal determinante di una qualunque matrice quadrata di ordine K che � estraibile dalla matrice data.

��

Il minore di ordine K in una matrice 3x2 pu� essere al max uguale a due, per scoprirlo ottengo dalla matrice originaria alcune altre sotto-matrici di ordine 2, se il minore non � ottenibile da queste, provo ad estrarlo da quelle di ordine 1.

Le sotto-matrici che si ottengono sono prima 3 matrici di ordine 2, e poi 6 matrici di ordine 1 (scalari)

Il Minore potrebbe per� essere nullo !

Data una generica matrice nxm, si chiama CARATTERISTICA della matrice e si indica con p_A il Massimo di ordine di minore non nullo estraibile dalla matrice stessa, ovvero ricercare qual � il minore non nullo pi� grande estraibile.

Es. in riferimento al caso di prima, se fra i minori di ordine 2 almeno uno non � nullo allora quello corrisponde alla caratteristica.

0<= p_A<=MIN(n,m)

Si dice che p_Acoincide con 0 se e solo se gli elementi della matrice sono tutti nulli, in tutti gli altri casi sar� >=1 e quindi

1<= p_A<=MIN(n,m)

Sar� inoltre uguale a 1 se e solo se almeno uno � diverso da 0 e tutti gli altri di ordine superiore sono nulli.

Nell�esempio precedente quelli di ordine 2 sono tutti nulli e fra quelli di ordine 1 due sono diversi da 0 (verificare nell�esempio sugli appunti era poco chiaro).

La caratteristica � p_A se esiste almeno un minore dell�ordine p_A diverso da 0, mentre gli altri sono tutti nulli.

Procedura:

Calcolo i minori di ordine max:

se almeno uno � diverso da 0 allora ho indivisuato la caratteristica;

se sono tutti nulli provo a trovare il minore delle sottomatrici di ordine inferiore n-1 e continuo cos� fino a che non ne trovo uno.

1 <= K <=MIN(n,m)

Qui il minore non � 3.

Provo a calcolare il minore di ordine inferiore cio� uguale a 2.

Anche qui sono tutti nulli

Non rimane che quello di ordine 1 poich� almeno uno scalare non � nullo.

Ilp_A �� di ordine 1 dunque p_A = 1.

Altro Esempio

Ilp_A �� diverso da 3.

Scendo al livello di ordine 2.

dunque la Ilp_A = 2.

Dato il p_A, all�interno di n vettori riga Є Sm �e di m vettori colonna Є Sn, il rango degli n vettori riga � p_A e lo stesso vale per gli m vettori colonna, ci� significa che il rango degli m vettori colonna � p_A e che ci sono p_A vettori linearmente indipendenti, mentre i rimanenti ovvero m-p_A sono linearmente dipendenti.

Determiniamo il rango della matrice composta dagli nxm vettori rigaxcolonna.

La Caratteristica di una matrice � uguale al Rango dell�insieme di vettori della matrice ma distinta per quelli di riga e per quelli di colonna.

Deve cio� essere stabilito quanti vettori riga sono linearmente indipendenti.

Significa che la caratteristica � 2 e cio� il rango dei vettori colonna � 2 (p_A=2).

Ci sono infatti al max 2 vettori linearmente indipendenti fra loro, dunque il 3� comporta che ci sia obbligatoriamente dipendenza lineare fra loro.

Vettore 2 2 1

Vettore 1 1 1

Vettore 0 0 0

Ma qual � la coppia dei linearmenti indipendenti ?

Essa corrisponde ai vettori che hanno contribuito alla definizione della Caratteristica cio� �� 2 1�� ovvero i primi due vettori

�� 1 1

Si evince che la coppia di vettori linearmente indipendenti sono

Ma rispetto ai primi due il 3� � combinazione lineare degli altri due appena citati e quindi rende cmq linearmente dipendenti anche gli altri fra loro, ovvero esisteranno dei coefficienti che lo permettono.

I vettori linearmente indipendenti non sono solo 2, ma si indica che � una coppia di vettori, e non una sola o solo quella.

Ma quali sono i coefficienti della combinazione lineare ?

1.8 SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI

1.8.1 Sistemi

Si chiama Sistema di n equazioni lineari, in m incognite, un�espressione del tipo

a11 x1 + a12 x2 + �� + a1m xm = b1

a21 x1 + a22 x2 + �� + a2m xm = b2

��

an1 x1 + an2 x2 + �� + anm xm = bn

� le x1, x2, ��, xm sono le incognite.

� Gli a1m, a2m, ��, a1m sono le incognite,(Termini Moltiplicativi sono numeri reali noti), sono detti coefficienti delle incognite.

� Le b1, b2, ��, bn sono valori reali noti, e sono detti Termini Noti delle equazioni.

Si parla dunque di un insieme di equazioni, da risolvere simultaneamente, cio� trarre gli x1, x2, ��, xm da sostituire alle incognite che consentono di verificare simultaneamente gli altri in gioco.

Questi sistemi di dicono di tipo Lineare perch� l�esponente � 1 cio� non ci sono potenze, ovvero le x1 hanno esponente 1, inoltre in ogni addendo c�� al max un�incognita con esponente 1 dunque l�ordine � 1.

Trovare la n-pla x1, x2, ��, xm, le quali non sono altro che degli Scalari ovvero un tipo di vettori a n componenti.

Non � detto che un sistema ammette soluzione, cio� che consenta di sviluppare le equazioni date nel sistema e inoltre le soluzioni potrebbero essere pi� di una.

Cerchiamo prima di capire se il sistema ammette soluzioni, cio� capire se i vettori sono tutti linearmente indipendenti.

Procedura
�� Scrivere il sistema (quello sopra esposto) in forma vettoriale:

a1 x1 + a2 x2 + �� + am xm = b

le am rappresentano i vettori colonna es.

a11�� a12�� a1m�� = b1

a21�� a22�� a2m�� = b2

an1�� an2�� anm�� = bn

a1�� a2�� am�� b

Occorre trovare gli x1, x2, ��, xm da assegnare come scalari dei vettori.

Il Sistema � risolvibile se esistono x1, x2, ��, xm, tali che il vettore dei termini noti sia esprimibile come combinazione lineare dei vettori dei coefficienti.

Se uno � linearmente dipendente dagli altri allora lo sono tutti fra loro.

Ci� significa che Il Vettore deve essere Linearmente Dipendente dagli altri, ovvero b deve essere linearmente dipendente dai vettori di coefficienti, in questo caso il sistema ammette soluzione.

Mettendo i vettori colonna prima esposti in una matrice, otteniamo una Matrice Incompleta del Sistema, che differisce dalla Completa perch� la prima non ha anche il vettore colonna b.

�� a11�� a12�� a1m��

A_INCOMP �� a21�� a22�� a2m��

�� an1�� an2�� anm��

�� a11�� a12�� a1m�� b1

A_COMP�� a21�� a22�� a2m�� b2

an1�� an2�� anm�� bn

1.8.2 Teorema di ROCHE-CAPELLI

Teorema di ROCHE-CAPELLI

��Condizione Necessaria e Sufficiente affinch� un sistema di n equazioni lineari in m incognite ammetta soluzione, � che la Caratteristica della Matrice Incompleta coincida con quella della Matrice Completa�.

Serve a scoprire quante soluzioni esistono se 0,1 o pi� di uno.

p_{INCOMP =}p_COMP

La Caratteristica corrisponde al Max numero dei vettori Linearmente Indipendenti della Matrice Incompleta ovvero al Rango.

Il perch� sta nel fatto che se aggiungendo il vettore colonna b, alla matrice incompleta (che diventa completa) i vettori linearmente indipendenti non aumentano allora necessariamente il vettore b � linearmente dipendente, ci� rende anche gli altri lineramente dipendenti e dunque il sistema ammette soluzione.

Le possibili risposte al tipo di caratteristica sono tre:

1) La Caratteristica della incompleta diversa da quella della completa e qui il sistema non ammette soluzione, si dice INCOMPATIBILE o IMPOSSIBILE, ovvero non � possibile che gli eventi ipotizzati si verifichino simultaneamente.

2) p_{INCOMP =}p_COMP ammette soluzione � cio� COMPATIBILE o POSSIBILE.

3) Vi sono casi in cui basta calcolare solo la p_INCOMP, ed � il caso dei Sistemi Normali, cio� se la caratteristica della Incompleta coincide con il numero delle equazioni, in questo caso il sistema � compatibile cio� risolvibile SEMPRE.

Questo perch� se il max degli indipendenti corrisponde a n (il numero delle equazioni) allora necessariamente aggiungendo il vettore b,� come se la matrice non fosse pi� n ma n+1 e quell�uno (vettore aggiunto) rappresenta proprio il vettore linearmente dipendente.

4) Il Sistema Omogeneo � sicuramente Compatibile

Si dice Omogeneo perch� i Termini noti sono tutti nulli cio� uguali a 0, proprio perch� ammette una soluzione banale�.perch�?

�� se a1 x1 + a2 x2 + �� + am xm = 0

praticamente � gi� risolta significa cio� che tutti gli addendi dell�equazione danno come risultato 0 e cio� si verifica l�uguaglianza con b.

Ma le soluzioni sono una o anche pi�?

� Se il sistema ammette una sola soluzione allora si dice DETERMINATO

� Se ne ammette pi� di una si dice INDETERMINATO

Compatibile Determinato

La caratteristica comune sia p_INCOMPche p_COMP� coincide perfettamente con il numero delle incognite, cio� p=m.

Compatibile InDeterminato

Se invece p<m allora le soluzioni sono pi� di una e il sistema � indeterminato, cio� ammetter� infinite soluzioni infatti ne ammetter� ∞^m-psoluzioni.

Nel Sistema Omogeneo le soluzioni oltre a quella banale, nel caso sia Indeterminato, il sistema ammette infinite altre soluzioni dette AUTOSOLUZIONI o SOLUZIONI PROPRIE.

�� Indeterminato p=m per m<=n

p = p_INCOMP= p_COMP => Compatibile

�� Determinato�� p<m => ∞^m-psoluzioni

1.8.3 Regola di CRAMER

Troviamo la soluzione nel caso in cui il Sistema sia Determinato e lo facciamo con la regola di CRAMER.

Regola di CRAMER

Troviamo la soluzione nel caso in cui il Sistema sia InDeterminato per p<m e non ho capito nula !

��

Esercizio

Sistema di 4 Equazioni in 4 Incognite.

Occorre scriverle in modo che appaiano tutte le incognite e quelle che non ci sono vengono accompagnate dal coefficiente nullo, per ogni equazione.

X1 X2� X3� X4 = Termine Noto

Costruiamo ora le matrici Incompleta e Completa.

Troviamo la caratteristica�

Il MIN di ordine massimo � 4, verifichiamo se � nullo o se il sistema � risolvibile.

Con Sarrus si otiene�..

1 1� (3 1 �) + (0 0 2) + (-3 1 �2) - (-3 -1 2) - (3 0 -2) - (0 1 �1/2)

[3/2 + 6 � 6] = 3/2 DIVERSO da 0

dunque la p_INCOMP = 4.

Vist che la caratteristica � 4 e il numero di equazioni � 4, il sistema si dice NORMALE dunque sicuramente compatibile.

Calcoliamo ora la caratteristica della completa.

Il MIN di ordine massimo � sicuramente 4 perch� se lo � quello delle incompleta lo� sar� almeno anche quello della completa, proprio perch� ha 1 colonna in pi� e contiene la incompleta.

p_INCOMP = p_COMP = 4 che � anche il MIN. Principale

Quante soluzioni ammette il sistema ?

Visto il sistema NORMALE con 4 equazioni la cui caratteristica � 4, il sistema si dice determinato e la soluzione � unica.

Calcoliamo ora la Soluzione con la regola di CRAMER: